请下载阅读
2015年四川初中数学联赛初赛
试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 42分，每小题 7分)
1、A 2、D 3、A 4、B
二、填空题（本题满分 28分，每小题 7分）
5、C
6、C
2
3
20
7
5
10、 x < −
7
7、3 2
8、
9、
三、（本大题满分 20分）
11、已知正数 a，b满足 − 1 =
1
2
，求 b3 + 3 的值．
3
a
3
a
b
a + b
解：由已知条件有b − a
= 2ab，即 b − a = 2． •••••••••••••••••••••••••••••••••• 5分
2 2
又 (b + a) − (b − a)
a b
a
b
2
2
= 4，a>0，b>0，
a
b
a
b
所以 b + a = 2 2．••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 10分
a
a
b
b
2
2
2 = (b + a)
2
− 2 = 6．••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 15分
a b
a2 + b
故 b3 + ba = (b + a) (ba2 + b2 ) − (b + a) =10 2．••••••••••••••••••••••••••••••• 20分
3
3
2
a
2
a
3
a
b
a
b
四、（本大题满分 25分）
12、四边形 ABCD是边长为 5的正方形，以 D为圆心，DA为半径的圆弧与以
边 BC为直径的半圆交于正方形内的一点 P，连接 AP交 BC于点 Q．
A
D
（1）求 PC的长度．
（2）求 BQ．
QC
P
解：（1）取 BC的中点 O，连结 OD，OP，PC．
过 P点作 EF//AD交 CD，AB于 E，F两点．
B
Q
C
因为 DP=PC，OP=OC，所以△DPO≌△DCO． •••••••••••A••••••G•••••••••••••••• 5D分
DO = OC
2
+ DC
2
= 5，
2
P
F
E
C
因为△DHC∽△DCO，所以 CH
=
CO
DO
．
H
CD
B
Q O
1
所以 CH=1，又 CH=PH，
所以 PC=2． ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 10分
（2）DH= CD
−CH = 2，
2 2
又因为 DO⊥PC，所以由△DPC面积公式可以得到
PE = PC ⋅ DH =
4 5 ．•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 15分
5
CD
在 Rt△PDG中，由勾股定理得 PG = 3 5 ．
5
PF = EF − PE = 5．•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 20分
5
由△AFP∽△ABQ可得 AF
=
AB ，
BQ
FP
5 × 55
3 5
5
所以 BQ = AB⋅ PF
=
= 5，
AF
3
BQ
= 1． ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 25分
所以
QC
2
五、（本大题满分 25分）
13、如图，一次函数 y = − 3 x + 6的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点．线
2
段 AB的中点 P在反比例函数 y = k 的图象上．
x
（1）求 k的值．
（2）若一次函数 y = mx + n的图象与 y = k 的图象有且只有一个第三象限的公
x
共点 Q，且与 x轴、y轴分别交于 C、D两点，试判断 AD，BC的位置关系．
（3）求四边形 ABCD面积的最小面积．
y
B
解：（1）由已知易得 A(4,0)，B(0,6)．
P
所以点 P的坐标为(2,3)．
C
代入反比例函数 y = k 的表达式得，
O
A
x
Q
x
D
3 = k ，解得 k=6．•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 5分
2
2
⎧y = mx + n,
（2）由已知得 ⎨⎪
只有一组解．
6
y =
⎪
⎩
x
消元并整理得 mx + nx − 6 = 0，故 Δ = n + 24m = 0．•••••••••••••••••••••••••• 10分
2 2
又易求得 A(4，0)，B(0，6)，C(− n ，0)，D(0，n)，
m
所以OC ⋅OD = n ⋅(−n) = 24 = OA⋅OB，即
OA
OC
=
OD
OB
，
m
因此 AD//BC．••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 15分
（3）S 四边形 ABCD= 1 (OA⋅OB + OC ⋅OD + OA⋅OD + OC ⋅OB)
2
= 1[24 + 24 + 4(−n) + 6 n
]
m
2
= −2n + 3n + 24
m
72
= −2n −
+ 24 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 20分
n
6
= 2[( −n − −n )
2
+12]+ 24 ≥ 48．
所以，四边形 ABCD的最小面积是 48．•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 25分
3
|
最近更新